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선형 사상이란? 두 벡터 공간 v와 w 그리고 임의의 스칼라 a에 대해 다음 두 조건을 만족할 때 선형 사상이라고 한다. 1. T(v+w) = T(v)+T(w) 2. T(av) = aT(v) 정의역, 핵 공간, 공역, 치역 설명 정의역 함수가 정의된 영역을 의미한다. 핵공간 (핵집합, 영공간) 정의역 중 실제 0으로 가는 영역을 의미한다. = kernel = null space = {v|T(v) = 0} = KerT 공역 정의역에 대응하는 영역으로 함수값이 존재하는 영역을 의미한다. 치역 치역은 함수값의 범위로 실제 나오는 값을 의미한다. = Image = range = {T(v) | v E V} = ImT 핵의 차원 dim(KerT) = nullity T = n - rankT (n은 dim(V)으로 정..

기저 basis란? 기저란 벡터 공간 V의 액기스라고 생각하면 쉽게 이해가 된다. 기저란 한가지로 정해져 있지 않지만 기저의 개수(= 차원)는 변하지 않는다. 좌표 벡터란? 표준 기저 차원 벡터 공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면 V의 차원을 n이라한다. V의 차원을 dimV로 표시한다. 벡터 공간 V의 기저의 원소 개수 = 벡터 공간 V의 선형 독립이 되는 최대 개수 = 벡터 공간 V의 차원 = dimV

일차 결합이란? 일차 독립 & 일차 종속

벡터 공간이란? 집합 + 위의 2가지 조건 = 공간 공간의 임의의 원소 u, v, w와 임의의 스칼라 k,lk, l에 대하여 다음이 모두 만족할 때 공간 V를 벡터 공간(Vector space) V라 한다. 1. u + v = v + u 2. (u + v) + w = u + (v + w) 3. u + 0 = u 4. u + (-u) = 0 (0은 영벡터(Zero vector)) 5. k(u + v) = ku + kv 6. (k + l)u = ku + lu 7. (kl)u = k(lu) = l(ku) 8. 1u = u 공간의 조건에 원래는 위의 8가지 조건을 다 따져야 하지만 간단하게 3번 조건인 영벡터가 존재한다는 것을 가지고 벡터공간인지 확인해 볼 수 있다. 공간 + 3번 조건(8가지 조건) = 벡터 ..

고유치와 고유벡터란? det(A-kI) = 0을 만족하는 k값이 고유값이다. 고유값과 고유벡터를 구하는 최종 목표는 대각화 즉 거듭 제곱을 용의하게 계산하기 위함이라고 생각하면 쉽다. 고유치와 고유벡터 성질 닮음과 대각화 닮은 행렬 성질 1. 행렬식이 같다. 2. 계수(rank)가 같다. 3. trace가 같다. 4. 고유치가 같다. (고유벡터가 같은 것은 아니다.) 닮은 행렬 예

랭크란? 행 공간과 열 공간의 차원을 의미한다. 선형 독립인 행또는 열의 벡터의 개수로 이해하면 쉽다. 랭크 계산 예 미지수 n개인 연림 일차방정식의 근(해)와 계수(Rank)와의 관계 일차 연립 방정식의 계수 행렬을 A, 확대 행렬을 A|B라 하자. 1. rankA < rank(A|B) 이면 근(해)이 존재하지 않는다. 2. rankA = rank(A|B) = n 이면 근(해)이 오직 하나 존재한다. 3. rankA = rank(A|B) < n 이면 무수히 많은 근(해)을 갖는다.

행렬이란? 성분(Entry) 또는 원소(Element)라고 하는 수들의 직사각형 형태의 배열을 의미한다. 행렬의 종류 정사각 행렬 (square matrix) n X n matrix 대각 행렬 (diagonal matrix) 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬 단위 행렬 (unit matrix) 또는 항등 행렬 (identity matrix) 주대각선 성분이 모두 1이고 나머지 모든 성분이 0인 정사각 행렬 행렬의 덧셈과 스칼라 곱의 대수적 성질 A + B = B + A (교환) (A + B) + C = A + (B + C) (결합) A + 0 = 0 + A (항등원) A + (-A) = (-A) + A = 0 (덧셈에 대한 역원) c(A+B) = cA + cB (분배) (c+d)A = ..

벡터란? 유클리드 공간에서 방향과 크기를 포함하는 기하학적인 대상으로 보통 화살표로 표시한다. 벡터 표현 벡터를 표현할 때 점과 헷갈릴 수 있지만 점과 벡터는 엄현이 다른 것임을 알아야 한다. 단위 벡터 다양한 방향과 크기를 가진 벡터 중 크기가 1인 벡터를 모두 단위 벡터라고 칭한다. 크기가 1이 아닌 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 것을 정규화라고 칭한다. 표준 단위 벡터 / 기본 단위 벡터 크기가 1인 단위 벡터 중 i 번째 성분만 1이고 나머지는 0인 벡터를 표준 단위 벡터 또는 기본 단위 벡터라 칭한다. 모든 벡터는 표준 단위 벡터로 표현할 수 있다. 2차원의 표준 단위 벡터는 (1,0)과 (0,1)이고 3차원의 표준 단위 벡터는 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)이다. (2,..