[선형대수] 벡터공간 Vector space

벡터 공간이란?

공간 정의

집합 + 위의 2가지 조건 = 공간

 

공간의 임의의 원소 u, v, w와 임의의 스칼라 k,lk, l에 대하여 다음이 모두 만족할 때

공간 V를 벡터 공간(Vector space) V라 한다.

 

1. u + v = v + u

2. (u + v) + w = u + (v + w)

3. u + 0 = u

4. u + (-u) = 0 (0은 영벡터(Zero vector))

5. k(u + v) = ku + kv

6. (k + l)u = ku + lu

7. (kl)u = k(lu) = l(ku)

8. 1u = u

 

공간의 조건에 원래는 위의 8가지 조건을 다 따져야 하지만 간단하게 3번 조건인 영벡터가 존재한다는 것을 가지고 벡터공간인지 확인해 볼 수 있다.

공간 + 3번 조건(8가지 조건) = 벡터 공간 

 

부분 공간 (Subspace)

벡터 공간 V의 부분 집합 W가 V상에 정의된 덧셈과 스칼레 곱셈에 관하여 벡터 공간을 이룰때, W를 V의 부분 공간(Subspace)이라고 한다.

공집합이 아닌 V의 부분 공간에는 반드시 {0}과 V(자기 자신)이 존재한다.

부분 공간 필요 충분 조건