[선형대수] 벡터 Vector

벡터란?

유클리드 공간에서 방향과 크기를 포함하는 기하학적인 대상으로 보통 화살표로 표시한다.

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벡터 표현

벡터의 표현

벡터를 표현할 때 점과 헷갈릴 수 있지만 점과 벡터는 엄현이 다른 것임을 알아야 한다.

 

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단위 벡터

다양한 방향과 크기를 가진 벡터 중 크기가 1인 벡터를 모두 단위 벡터라고 칭한다.

크기가 1이 아닌 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 만드는 것을 정규화라고 칭한다.

벡터의 정규화

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표준 단위 벡터 / 기본 단위 벡터

크기가 1인 단위 벡터 중 i 번째 성분만 1이고 나머지는 0인 벡터를 표준 단위 벡터 또는 기본 단위 벡터라 칭한다.

모든 벡터는 표준 단위 벡터로 표현할 수 있다.

2차원의 표준 단위 벡터는 (1,0)과 (0,1)이고

3차원의 표준 단위 벡터는 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)이다.

(2, 3) = 2*(1,0) + 3*(0,1)
(2,3,5) = 2*(1,0,0) + 3(0,1,0) + 5(0,0,1)

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벡터의 상등/동치

기하학적으로 동일한 방향과 크기를 가지는 벡터는 같은 것으로 간주한다.

아래 보이는 파란색 벡터들은 위치는 서로 다르지만 모두 방향과 크기가 같은 벡터이다.

이들을 상등 또는 동치라 한다.

벡터의 상등

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벡터의 스칼라 배

벡터에 실수 배를 할 수 있다.

실수 k가 양수일 경우 동일한 방향의 크기만 k배만큼 변화한다.

실수 k가 음수일 경우 반대 방향의 크기가 k배한 화살표가 된다.

벡터의 스칼라 배

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벡터의 덧셈

두 벡터를 더할 수 있다.

이때 한 벡터의 종점과 다른 벡터의 시점이 같은 경우는 벡터 합 삼각형 법칙을 적용한다.

두 벡터의 시점이 같은 경우는 벡터 합 평행사변형 법칙을 적용한다.

벡터의 덧셈

벡터의 덧셈

벡터 덧셈에 대해 성립되는 법칙

• 교환 법칙 : A + B = B + A
• 결합 법칙 : (A + B) + C = A + (B + C)
• 벡터 덧셈의 항등원 존재 : A + 0 = A
• 벡터 덧셈의 역원 존재 : A + (-A) = 0

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벡터의 뺄셈

벡터의 뺄셈

벡터의 뺄셈

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벡터의 내적

내적의 정의

벡터의 내적

특수각의 삼각비

특수각의 삼각비에 따라 두 벡터를 내적 한 값이 0이면 두 벡터 사이의 각이 90도이라는 것을 알 수 있다.

다른 말로 두 벡터 사이의 각이 90도 라면 두 벡터를 내적 하면 0이 나온다.

이루는 각이 90도인 두 벡터의 내적

벡터의 성질

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벡터의 사영

정사영이란 특정 도형이나 선분에 빛을 쪼였을 때 생기는 그 빛과 수직인 평면에 생기는 그림자를 의미한다.

이에 벡터의 사영도 마찬가지로 한 벡터에 다른 벡터를 수직으로 내렸을 때 생기는 그림자 벡터라고 생각하면 쉽다.

proj이란 사영이란 뜻의 projection의 약자이다.

벡터의 사영

사영 벡터 식

사영 벡터와 벡터의 뺄셈을 이용해 이용해 벡터 b에 수직인 벡터도 구할 수 있다.