[선형대수] 행렬 Matrix

행렬이란?

성분(Entry) 또는 원소(Element)라고 하는 수들의 직사각형 형태의 배열을 의미한다.

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행렬의 종류

정사각 행렬 (square matrix)	n X n matrix
대각 행렬 (diagonal matrix)	주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬
단위 행렬 (unit matrix) 또는 항등 행렬 (identity matrix)	주대각선 성분이 모두 1이고 나머지 모든 성분이 0인 정사각 행렬

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행렬의 덧셈과 스칼라 곱의 대수적 성질

1. A + B = B + A (교환)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (결합)
3. A + 0 = 0 + A (항등원)
4. A + (-A) = (-A) + A = 0 (덧셈에 대한 역원)
5. c(A+B) = cA + cB (분배)
6. (c+d)A = cA + dA (분배)
7. c(dA) = cdA = d(cA) (분배)
8. 1*A = A 

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행렬의 곱셈의 성질

1. A(BC) = (AB)C
2. A(B + C) = AB + AC
3. (A + B)C = AC + BC
4. k(AB) = (kA)B = A(kB)
5. AI = IA = A

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전치 행렬의 성질

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행렬식 (determinant)

 

행렬식

 

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행렬식 성질

행렬식 성질

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행렬식 계산

소행렬	행렬에서 i 번째 행과 j 번째 열을 제거시켜 구성되는 (n-1)차 정방행렬
소행렬식(minor) Mij	소행렬의 행렬식
여인수 또는 여인자(cofactor) Cij	소행렬식에 i+j 의 규칙에 따라 부호(- 또는 +)를 붙여 주는 것

부호 규칙

주 대각선의 부호는 무조건 +로 +와 -가 반복되는 것으로 기억하면 쉽다.

여인수 전개 (Cofactor Expansion) / 라플라스 전개 (Laplace Expansion)

행렬식에서 어느 한 행 또는 열을 기준으로 나오는 여인수들을 정리해둔 식을 이용해 행렬식을 쉽게 계산하는 방법이다.

라플라스 전개

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역행렬

어떤 행렬의 역행렬이란 어떤 행렬과 곱했을 때 항등 행렬이 나오게 하는 행렬을 의미한다.

역행렬

수반 행렬

행렬의 성분이 여인수로 이루어져 있는 행렬의 전치 행렬을 의미한다.

수반 행렬 예

역행렬 성질

역행렬 성질

+ 상 삼각 행렬일 때, 주 대각 성분의 곱 = |A|